Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku. Penulisan matriks: \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} atau \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n). \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} Matriks di atas berordo 3x2. Matriks Identitas (I) Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada diagonal utama selalu 1. I= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} Matriks Transpose (At) Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh: A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} maka matriks transposenya (At) adalah A^t= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \\ 5 & -7 \end{pmatrix} Operasi perhitungan pada matriks Kesamaan 2 matriks 2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama. Contoh: \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} Tentukan nilai 2x-y+5z! Jawab: 6x=3 maka x= \frac {1}{2} 2y+2=1 maka y= -\frac {1}{2} z-y=5 maka z= \frac {9}{2} 2x-y+5z = 2\left ( \frac{1}{2} \right ) - \frac {1}{2}+ 5 \left ( \frac{9}{2} \right ) = 23 Penjumlahan matriks 2 matriks bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak. Contoh: \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3+6x & 5+z-y \\ 2y+3 & 8 & -14 \end{pmatrix} Pengurangan matriks 2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak. Contoh: \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3-6x & 5-z-y \\ -2y-1 & 0 & 0 \end{pmatrix} Perkalian bilangan dengan matriks Contoh: 3 \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 18x & 3z-3y \\ 6y+6 & 12 & -21 \end{pmatrix} Perkalian matriks 2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B. Penghitungan perkalian matriks: Misalkan: A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} dan B= \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} maka A \times B= \begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix} Contoh: \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 2 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 & 76 \\ 35 & 64 \end{pmatrix} Determinan suatu matriks Matriks ordo 2x2 Misalkan: A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} maka Determinan A (ditulis \left\vert A \right\vert ) adalah: \left\vert A \right\vert= a \times d - b \times c Matriks ordo 3x3 Cara Sarrus Misalkan: Jika A= \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} maka tentukan \left\vert A \right\vert ! \left\vert A \right\vert = \left\vert \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right\vert \begin{matrix} a & b \\ d & e \\ g & h \end{matrix} Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi: \left\vert A \right\vert = a.e.i + b.f.g + c.d.h - g.e.c - h.f.a - i.d.b Contoh: A= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix} maka tentukan \left\vert A \right\vert ! \left\vert A \right\vert = \left\vert \begin{matrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{matrix} \right\vert \begin{matrix} -2 & 0 \\ 3 & 2 \\ 1 & -3 \end{matrix} \left\vert A \right\vert = (-2.2.5) + (0.-1.-1) + (1.3.-3) - (1.2.1) - (-2.-1.-3) - (0.3.5) = -20+0-9-2+6-0 = -25 Cara ekspansi baris-kolom Misalkan: Jika P= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix} maka tentukan \left\vert P \right\vert dengan ekspansi baris pertama! \left\vert P \right\vert= -2 \left\vert \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right\vert -0 \left\vert \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right\vert +1 \left\vert \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right\vert \left\vert P \right\vert= -2 (10-3) -0 + 1(-9-2) = -25 Matriks Singular Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0. Contoh: P= \begin{pmatrix} -4 & 5x\\ -x & 20 \end{pmatrix} Jika A matriks singular, tentukan nilai x! Jawab: -80+5x^2 = 0 5 (x^2-16)=0 x = -4 vs x=4 Invers matriks Invers matriks 2x2 Misalkan: A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} maka inversnya adalah: A^{-1}= \frac {1}{\left\vert A \right\vert} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} = \frac {1}{a.d-b.c} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} Sifat-sifat invers matriks A . A^{-1} = I = A^{-1}. A (AB)^{-1} B^{-1}. A^{-1} (A^{-1})^{-1} = A AI = A = IA Persamaan matriks Tentukan X matriks dari persamaan: Jika diketahui matriks A.X=B A.X=B A^{-1}.A.X = A^{-1}.B I.X = A^{-1}.B X= A^{-1}.B Jika diketahui matriks X.A=B X.A=B X.A.A^{-1} = B.A^{-1} X.I = B.A^{-1} X= B.A^{-1}