02.15
Unknown
Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.
Penulisan matriks:
\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}
atau
\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}
Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).
\begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} Matriks di atas berordo 3x2.
Matriks Identitas (I)
Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada diagonal utama selalu 1.
I= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Matriks Transpose (At)
Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:
A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix}
maka matriks transposenya (At) adalah A^t= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \\ 5 & -7 \end{pmatrix}
Operasi perhitungan pada matriks
Kesamaan 2 matriks
2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak sama.
Contoh: \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix}
Tentukan nilai 2x-y+5z!
Jawab:
6x=3 maka x= \frac {1}{2}
2y+2=1 maka y= -\frac {1}{2}
z-y=5 maka z= \frac {9}{2}
2x-y+5z
= 2\left ( \frac{1}{2} \right ) - \frac {1}{2}+ 5 \left ( \frac{9}{2} \right )
= 23
Penjumlahan matriks
2 matriks bisa dijumlahkan jika ordonya sama dan penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen yang seletak.
Contoh: \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3+6x & 5+z-y \\ 2y+3 & 8 & -14 \end{pmatrix}
Pengurangan matriks
2 matriks bisa dikurangkan jika ordonya sama dan pengurangan dilakukan dengan cara mengurangkan dari elemen yang seletak.
Contoh: \begin{pmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & -7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3-6x & 5-z-y \\ -2y-1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Perkalian bilangan dengan matriks
Contoh:
3 \begin{pmatrix} 2 & 6x & z-y \\ 2y+2 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 18x & 3z-3y \\ 6y+6 & 12 & -21 \end{pmatrix}
Perkalian matriks
2 Matriks dapat dikalikan jika jumlah baris matriks A = jumlah kolom matriks B.
Penghitungan perkalian matriks:
Misalkan:
A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} dan B= \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}
maka A \times B= \begin{pmatrix} ap+br & aq+bs \\ cp+dr & cq+ds \end{pmatrix}
Contoh:
\begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 2 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 & 76 \\ 35 & 64 \end{pmatrix}
Determinan suatu matriks
Matriks ordo 2x2
Misalkan:
A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
maka Determinan A (ditulis \left\vert A \right\vert ) adalah:
\left\vert A \right\vert= a \times d - b \times c
Matriks ordo 3x3
Cara Sarrus
Misalkan:
Jika A= \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} maka tentukan \left\vert A \right\vert !
\left\vert A \right\vert = \left\vert \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right\vert \begin{matrix} a & b \\ d & e \\ g & h \end{matrix}
Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:
\left\vert A \right\vert = a.e.i + b.f.g + c.d.h - g.e.c - h.f.a - i.d.b
Contoh:
A= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix} maka tentukan \left\vert A \right\vert !
\left\vert A \right\vert = \left\vert \begin{matrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{matrix} \right\vert \begin{matrix} -2 & 0 \\ 3 & 2 \\ 1 & -3 \end{matrix}
\left\vert A \right\vert = (-2.2.5) + (0.-1.-1) + (1.3.-3) - (1.2.1) - (-2.-1.-3) - (0.3.5) = -20+0-9-2+6-0 = -25
Cara ekspansi baris-kolom
Misalkan:
Jika P= \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 5 \end{pmatrix} maka tentukan \left\vert P \right\vert dengan ekspansi baris pertama!
\left\vert P \right\vert= -2 \left\vert \begin{matrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{matrix} \right\vert -0 \left\vert \begin{matrix} 3 & -1 \\ 1 & 5 \end{matrix} \right\vert +1 \left\vert \begin{matrix} 3 & 2 \\ 1 & -3 \end{matrix} \right\vert
\left\vert P \right\vert= -2 (10-3) -0 + 1(-9-2) = -25
Matriks Singular
Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.
Contoh:
P= \begin{pmatrix} -4 & 5x\\ -x & 20 \end{pmatrix}
Jika A matriks singular, tentukan nilai x!
Jawab:
-80+5x^2 = 0
5 (x^2-16)=0
x = -4 vs x=4
Invers matriks
Invers matriks 2x2
Misalkan:
A= \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}
maka inversnya adalah:
A^{-1}= \frac {1}{\left\vert A \right\vert} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} = \frac {1}{a.d-b.c} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}
Sifat-sifat invers matriks
A . A^{-1} = I = A^{-1}. A
(AB)^{-1} B^{-1}. A^{-1}
(A^{-1})^{-1} = A
AI = A = IA
Persamaan matriks
Tentukan X matriks dari persamaan:
Jika diketahui matriks A.X=B
A.X=B
A^{-1}.A.X = A^{-1}.B
I.X = A^{-1}.B
X= A^{-1}.B
Jika diketahui matriks X.A=B
X.A=B
X.A.A^{-1} = B.A^{-1}
X.I = B.A^{-1}
X= B.A^{-1}
